Esaminiamo qui il caso di limiti di funzioni che hanno un dominio di esistenza illimitato, per cui ci interessa sapere come si comporta la funzione per valori via via più grandi (più piccoli). Ovviamente non ha senso tentare di calcolare
oppure
per cui
possiamo cercare il comportamento al limite di
che tende a tali valori infiniti.
Data una funzione
con
, diremo che
é illimitato superiormente (inferiormente) se fissato un numero reale
, esiste un
. Dunque, se
é illimitato superiormente (inferiormente) é possibile calcolare la f in corrispondenza di valori sempre più grandi (piccoli). In altre parole possiamo calcolare i limiti:
In particolare qui siamo interessati al caso in cui
questi limiti assumono valori infiniti.
Possiamo dare pertanto la seguente definizione.
Vediamo ora le rappresentazioni grafiche delle due definizioni che portano a raffigurare quattro casi:
NOTA:
I polinomi di grado superiore o uguale ad 1 hanno limite infinito con le funzioni all’infinito. Attenzione però a distinguere fra quelli di grado pari e grado dispari, nel primo caso hanno lo stesso limite nel secondo i limiti sono opposti e ciò vale sia per
che per
.
Esempio 2
Come esercizio, verifichiamo ora un risultato generale.
Data la funzione
dobbiamo verificare che
Applicando la definzione 1, dobbiamo dimostrare che
consideriamo un generico
a piacere, e imponiamo la condizione
da cui ricaviamo
poiché la funzione è definita in tutto
, dobbiamo imporre una condizione su x compatibile con
, pertanto possiamo prendere
e otteniamo il sistema
da cui, per
, ricaviamo la soluzione
.
Visualizziamo il grafico di una funzione del tipo
, con
:
Esempio 3
Consideriamo adesso la funzione
dobbiamo verificare che
Anche in questo caso, applicando la definzione 1, dobbiamo dimostrare che
Consideriamo un generico
a piacere, e imponiamo la condizione
da cui ricaviamo
1
da cui la soluzione
Confermiamo il risultato trovato visualizzando il grafico della funzione
Quando il risultato di un limite è infinito?
Il limite infinito per x tendente all'infinito è la quarta tipologia di limite definita per le funzioni reali di variabile reale. Viene denominata talvolta limite infinito all'infinito e consente di studiare il comportamento di una funzione agli eventuali estremi illimitati del suo dominio.
Quando una funzione tende a infinito?
Affinchè sia possibile far tendere la all'infinito ovviamente la funzione deve essere definita in un intorno di più o meno infinito, o almeno deve avere un dominio illimitato superiormente o inferiormente, a seconda che si voglia calcolare il limite per x → + ∞ o x → − ∞ .
Cos'è un limite finito?
La nozione di limite finito per x tendente all'infinito è la terza tipologia di limite che viene definita per le funzioni reali di variabile reale. Detto anche limite finito all'infinito, permette di studiare l'andamento di una funzione agli estremi illimitati del suo dominio.